Poncelet’in Kapanış Teoremi
Poncelet’in Porizmi
Poncelit’in porizmi başka bir değişle Poncelet’in kapanış (kapanma) teoremi incelendiğinde bir çokgenin konik bölüme yazıldığında diğerlerini çevreleyerek, çokgenin hepsi aynı iki koni içerisine yazılmış olan ve onu çevrelemekte olan sonsuz bir çokgen ailesinin parçası olması gerektiğini savunmaktadır.
Konik bölümler ise şu şekildedir:
Poncelet teoremi adını Fransız mühendis ve matematikçi Jean- Victor Poncelet’ten almıştır. Poncelet’in porizmi, noktaları bir koniğe teğet olan bir doğrunun diğer koni ile bu çizginin kesişme noktasının bir kombinasyonunu temsil eden eliptik bir eğri kullanan argümanla kanıtlanabilir. Ayrıca Poncelet’in kapanış teoremine göre elipsin içerisine tekrar bir elips çizildiği düşünüldüğü zaman, elipsin üzerinden herhangi bir nokta alıp birleştirmeye başladığımız zaman tekrar başlanıldığı noktaya dönülecektir. Örneğin:
Figure 1 Poncelet’in porizminin n = 3 için gösterimi , bir daire içine yazılmış ve diğerini çevreleyen bir üçgen.
Verilmiş olan iki konik bölüm için inşa edilen bir n taraflı bir başlangıç noktası kapatılırsa, başlangıç noktasında bulunan herhangi bir konum için kapatılır. Spesifik olarak bir elips diğerinin içinde verildiğinde, eğer bir tane aynı anda hem dıştan hem de içten sınırlandırılan kısaca çevreleyen bir nokta varsa, dış elipsin sınırındaki herhangi bir nokta, etrafı sınırlandırılmış bir çokgenin tepe noktası olur. Konik bir daire olarak alınırsa çevresel merkeze sahip olur. Bu sebeple enine olanlar da kapanır, sınırlandırılır. Böyle bir çokgene iki merkezli çokgen denilmektedir.
Not: Konik kısımlar, bir düzlemin, bir konin kesişimi ile oluşan dejenere olmayan eğriler olarak adlandırılır. Koninin eksenine dik bir düzlem için bir daire üretilir.
Elips:
Elips, bir düzlemde verilen, F1 ve F2 olarak adlandırılan iki noktaya uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların geometrik yeri olarak tanımlanmaktadır. Verilen bu iki noktaya elipsin odakları olarak adlandırılır. Odaklarının arasındaki uzunluğa 2c olarak adlandırırsak ortadaki nokta, elipsin merkez noktasıdır. Şekildeki elipsin 2a asal, 2b ise yedek ekseni olarak adlandırılır, bilinir.
Aynı zamanda c² + b²= a²’dir. Şekilde de görüldüğü gibi b ve F1 ile merkez arasındaki dik kenarların arasındaki doğru parçası ise hipotenüstür.
