Descartes’in İşaret Kuralı

Descartes’in İşaret Kuralı:

Matematikte tanımlanan ilk işaret kuralı Rene Descartes tarafından La Geometrie adlı çalışması sayesinde tanımlanmıştır. Descartes’in işaret kuralının tekniği sayesinde tek değişkenli bir polinom, maksimum pozitif ve maksimum negatif köklerinin sayısı, karmaşık ve reel köklerinin sayısı hesaplanabilir. Bu hesaplamalar denklemin köklerini bulmadan, işaret kuralının tekniği sayesinde tespit edilebilir, bulunabilir.

Pozitif Kökler:

Tek değişkeni bulunan bir polinomun katsayılarının arasındaki işaret değişiminin sayısının, polinomun sahip olduğu maksimum pozitif kök sayısına eşit olduğunu savunur. Sonucunda çıkan sayı ise ya buna eşit olur, ya da bu değerin 2 katına çıkmış sonucuna eşit olur.

Negatif Kökler:

Tek değişkeni bulunan bir polinomda, değişkenin işaretini değiştirerek elde edilen tek değişkenli bir polinomun katsayıları arasındaki işaret değişimi sayısının (örneğin: x ve -x) polinomun sahip olduğu negatif kök sayılarının en fazla olduğu değere eşittir. Sonucunda çıkan sayı ise ya buna eşit olur ya da bu değerin 2 katına çıkmış sonucuna eşit olur.

Karmaşık Kökler:

N dereceye sahip bir polinomun kökü n’dir. Bu polinomun sahip olduğu minimum karmaşık kök sayısı ise n- (p+n) denkleminin sonucuna eşit olur.

Bu denklemde;

p= pozitif kök sayısı

q= negatif kök sayısı

n= denklemin derecesi

Olarak ifade edilir, gösterilir.

Örnek Hesaplama:

Verilen polinom:

Pozitif Kök Sayısı Hesaplama:

Yukarıda belirtilen tanıma göre: katsayılarını toplayalım

+++——++- şeklinde katsayıları ifade edilir.

Buradan da polinomun sahip olduğu maximum kök sayısı 3 çıkar.

Negatif Kök Sayısı Hesaplama:

Tanımda verildiği üzere x yazan yerlerin işaretlerini değiştirmemiz ve -x koymamız gerekmektedir.

Yukarıda bulunan işlemi tekrar uyguladığımızda polinomun maksimum negatif (-) kök sayısını verir bu da 4 olarak bulunur.

Karmaşık Kök Sayısı hesaplama:

Bu kısımda da yukarıda belirtildiği üzere elimizdeki örneğin sonuçlarını denklemde n-(p+q) yerine koyacağız. Pozitif 1 negatif 4 idi.

7- (1+0) işleminden 6 sonucunu elde ederiz. Bu da polinomun 6 karışık köke ve 1 adet reel köke sahip olduğunu gösterir.

Bu yazıyı nasıl buldunuz?

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.